Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx-1與x軸交于兩點A（-1，0），B（1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）若點D為拋物線C₁上任意一點，且四邊形ACBD為直角梯形，求點D的坐標；
（3）若將拋物線C₁先向上平移1個單位，再向右平移2個單位得到拋物線C₂，直線l₁是第一、三象限的角平分線所在的直線．若點P是拋物線C₂對稱軸上的一個動點，直線l₂：x=t平行于y軸，且分別與拋物線C₂和直線l₁交于點D、E兩點．是否存在直線l₂，使得△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形？若存在求出t的值；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）根據題意得：，
解得：
則函數的解析式是：y=x²-1；

（2）在y=x²-1中，令x=0，解得：y=-1，則C的坐標是（0，-1）．
則OA=OB=OC=1，
則△OAC和△OBC都是等腰直角三角形，
則∠ACB=90°，
設直線AC的解析式是y=kx+b，則，解得：，則直線AC的解析式是：y=-x-1，
同理，BC的解析式是：y=x-1．
當AD∥BC時，設AD的解析式是：y=x+c，把A（-1，0）代入得：-1+c=0，解得：c=1，
則AD的解析式是：y=x+1，
解方程組：，解得：，則D的坐標是（2，3）；
同理，當AC∥BC時，可以求得D的坐標是：（-2，3）．
故D的坐標是（2，3）或（-2，3）；

（3）拋物線C₂的解析式是y=（x-2）²，則對稱軸是：x=2，則P的橫坐標是2．
直線l₁的解析式是y=x．
當x=t時，D、E的縱坐標分別是：（t-2）²和t，則DE=|t-（t-2）²|，
PE=|t-2|，
∵△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形，
∴PE=DE，
則：|t-（t-2）²|=|t-2|，
解得：t=3±或2±．
分析：（1）利用待定系數法，把A、B的坐標代入函數解析式，即可求得函數的解析式；
（2）首先可以求得C的坐標，可以得到∠ACB=90°，則分AD∥BC和AC∥BC兩種情況進行討論，當AD∥BC時，首先求得AD的解析式，然后解AD得解析式與二次函數的解析式組成的方程組，即可求得D的坐標．同法，可以求得當AC∥BC時的坐標；
（3）首先寫出C₂與直線l₁的解析式，當x=t時，D、E的縱坐標分別是：（t-2）²和t，則DE=|t-（t-2）²|，PE=|t-2|，根據△DEP是以DE為直角邊的等腰直角三角形，則PE=DE，據此即可得到關于t的方程，解方程求得t的值．
點評：本題是二次函數的綜合題型，考查了拋物線解析式的確定、等腰直角三角形的性質，注意（2）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．