Question

請你利用直角坐標平面上任意兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）間的距離公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

解答下列問題：
已知：反比例函數y=

2

x

與正比例函數y=x的圖象交于A、B兩點（A在第一象限），點F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直線y=x上．設點P（x₀，y₀）是反比例函數y=

2

x

圖象上的任意一點，記點P與F₁、F₂兩點的距離之差d=|P_^F1-P_^F2|．試比較線段AB的長度與d的大小，并由此歸納出雙曲線的一個重要定義（用簡練的語言表述）．

Answer 1

分析：解由y=

2

x

和y=x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），利用兩點間的距離公式可求出線段AB的長度，由P為反比例函數y=

2

x

上一點可得出x₀與y₀的關系式，利用兩點間的距離公式可得出PF₁、PF₂的長，代入d=|P_^F1-P_^F2|即可得到x₀的表達式，再根據x₀的取值范圍即可求出d的長，進而得出結論．

解答：解：解由y=

2

x

和y=x組成的方程組可得A、B兩點的坐標分別為，（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），線段AB的長度=4（2分）
∵點P（x₀，y₀）是反比例函數y=

2

x

圖象上一點，
∴y₀=

2

x0

∴PF₁=

(x0+2)2+( 2 xo +2)2

=

(x0+ 2 x0 +2)2

=|

(x0+1)2+1

x0

|，
PF₂=

(x0-2)2+( 2 xo -2)2

=

(x0+ 2 x0 -2)2

=|

(x0-1)2+1

x0

|，（3分）
∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

x0

|-|

(x0-1)2+1

x0

||，
當x₀＞0時，d=4；當x₀＜0時，d=4．（3分）
因此，無論點P的位置如何，線段AB的長度與d一定相等．（2分）
由此可知：到兩個定點的距離之差（取正值）是定值的點的集合（軌跡）是雙曲線．（2分）

點評：本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，熟練利用兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．