Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（0，1），與x軸的一個交點B的坐標為（2，0），點P在拋物線上，它的橫坐標為2n（0<n<1），作PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點D。

（1）求拋物線的解析式；
（2）用n的代數式表示CD、PD的長，并通過計算說明與的大小關系；
（3）若將原題中“0<n<1”的條件改為“n>1”，其他條件不變，請通過計算說明（2）中的結論是否仍然成立。

Answer 1

解：（1）如圖（1）∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A（0，1），經過（2，0）點， ∴y=ax2+1，又4a+1=0，解得a=-，∴拋物線的解析式為y=-x2+1；
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b ∵A（0，1），B（2，0）， b=1，2k+b=0，解得：k=-1/2，b=1， ∴直線AB的解析式為y=-1/2x+1， ∵點P在拋物線上，它的橫坐標為2n（0<n<1）， ∴點P的坐標為（2n，1-n2），且點P在第一象限， 又∵PC⊥x軸于C，PC交射線AB于點D， ∴xD=OC=2n，yD=-1/2×2n+1=1-n，且點D在第一象限， ∴CD=-n，PD=yP-yD=（1-n2）-（1-n）=n -n2=n（1-n）， ，
（3）當n>1時，P、D兩點在第四象限，且P點在D點下方（如圖（2））， yD>yP點，P的坐標為（2n，1-n2） ∵xD=OC=2n ∴yD=-1/2×2n+1=1-n ∵D點在第四象限， ∴CD=-yD=n-1， PD=yD-yP=（1-n）-（1-n2）=n（n-1）， ∵n>1， ∴， ，仍然成立。