Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形，設DP=x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y。

（1）如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；
（2）如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上？這時重疊部分的面積y等于多少？
（3）閱讀材料：已知銳角a≠45°，tan2a是角2a的正切值，它可以用角a 的正切值tana來表示，即（a≠45°）。
根據(jù)上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍。（提示：在圖丙中可設∠DAP=a ）

Answer 1

解：（1）由題意可得∠DAC=∠D′AC=∠ACE，
∴AE=CE，
設AE=CE=m，則BE=10-m，
在Rt△ABE中，得m²=8²+（10-m）²，m=8.2，
∴重疊部分的面積y=·CE·AB=×8.2×8=32.8（平方單位）；
（2）由題意可得△DAP≌△D′AP，
∴AD′=AD=10，PD′=DP=x
在Rt△ABD′中，
∵AB=8，
∴BD′==6，
于是CD′=4，
在Rt△PCD′中，由x²=4²+（8-x）²，得x=5，
此時y=·AD·DP=×10×5=25（平方單位），
表明當DP=5時，點D恰好落在BC邊上，這時y=25；
（3）由（2）知，DP=5是甲、丙兩種情形的分界點，
當0≤x≤5時，由圖甲知y=S_△AD′P=S_△ADP=·AD·DP=5x，
當5＜x＜8時，如圖丙，設∠DAP=a，則∠AEB=2a，∠FPC=2a，
在Rt△ADP中，得tana=，
根據(jù)閱讀材料，得tan2a=，
在Rt△ABE中，有BE=AB∕tan2a==，
同理，在Rt△PCF中，有CF=（8-x）tan2a=，
∴△ABE的面積
S_△ABE=·AB·BE=×8×=，
△PCF的面積
S_△PCF=·PC·CF=（8-x）×，
而直角梯形ABCP的面積為
S_梯形ABCP=（PC+AB）×BC=（8-x+8）×10=80-5x，
故重疊部分的面積y=S_梯形ABCP-S_△ABE-S_△PCF=80-5x-，
經(jīng)驗證，當x=8時，y=32.8適合上式，
綜上所述，當0≤x≤5時，y=5x；當5＜x≤8時，y=80-5x--。