Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0）、（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E.

（1）記的面積為S，求S與b的函數關系式；

（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形，DE=，試探究四邊形與矩形OABC的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）不變，.

【解析】

試題分析：（1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；

（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．

試題解析：

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），

∴點B的坐標是（3，1），

若直線經過點A（3，0）時，則b=；

若直線經過點B（3，1）時，則b=；

若直線經過點C（0，1）時，則b=1．

①如圖1，若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，

此時E（2b，0）

∴S=OE•CO=×2b×1=b；

②如圖2，若直線與折線OAB的交點在BA上時，即，此時，

∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）=

綜上所述，；

（2）設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．由題意知，DM∥NE，DN∥ME，

∴四邊形DNEM為平行四邊形

根據軸對稱知，∠MED=∠NED

又∵∠MDE=∠NED，

∴∠MED=∠MDE，

∴MD=ME，

∴平行四邊形DNEM為菱形．

過點D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，

由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），

∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，

∴HN=HE-NE=2-a，

則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，

∴a=，

∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=．

∴矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為．

考點：一次函數綜合應用．