Question

已知，如圖，一條拋物線的對稱軸是直線x=，經過點（1，-3）、（3，-2），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．D、E分別是邊AC、BC上的兩個動點（不與A、B重合），且保持DE∥AB．以DE為邊向上作正方形DEFG．
（1）求二次函數的解析式．
（2）試判斷△ABC的形狀，并說明理由．
（3）當正方形的邊GF在AB邊上時，求正方形DEFG的邊長．
（4）當D、E在運動過程中，正方形DEFG的邊長能否與△ABC的外接圓相切？若相切，求出DE的長；若不能，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的對稱軸設出二次函數的頂點式，再根據此拋物線經過點（1，-3）、（3，-2）即可得出此函數的解析式；
（2）由（1）中函數的解析式可得出A、B、C三點的坐標，可得出△AOC∽△COB，再根據相似三角形的性質即可得出結論；
（3）設△ABC外接圓圓心為N，切點為H．DE為y，△ABC的外接圓半徑為2.5，再根據=即可得出結論．
解答：解：（1）設二次函數解析式為y=a（x-）²+k，
經過（1，-3），（3，-2），得
a=，k=-，
∴二次函數解析式為y=（x-）²-；

（2）解得A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵∠AOC=∠BOC=90°，
==，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠ABC，
∴∠ACO+∠BCO=∠ABC+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形；（另外解法也給分）

（3）當GF在AB上時，DE交OC于M．設正方形的邊長為x．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴=，=，
∴x=，
答：正方形的邊長為；

（4）能相切．
設△ABC外接圓圓心為N，切點為H．DE為y，△ABC的外接圓半徑為2.5，
∴OM=y-2.5，CM=2-（y-2.5）=4.5-y，
∵=，=，
∴y=．
答：正方形DEFG的邊長能與△ABC的外接圓相切，DE為．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到正方形的性質、三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定與性質，涉及面較廣，難度較大．