Question

【題目】閱讀：如圖1，點P（x，y）在平面直角坐標中，過點P作PA⊥x軸，垂足為A，將點P繞垂足A順時針旋轉角α（0°＜α＜90°）得到對應點P′，我們稱點P到點P′的運動為傾斜α運動．例如：點P（0，2）傾斜30°運動后的對應點為P′（1，）．

圖形E在平面直角坐標系中，圖形E上的所有點都作傾斜α運動后得到圖形E′，這樣的運動稱為圖形E的傾斜α運動．

理解

（1）點Q（1，2）傾斜60°運動后的對應點Q′的坐標為 ；

（2）如圖2，平行于x軸的線段MN傾斜α運動后得到對應線段M′N′，M′N′與MN平行且相等嗎？說明理由．

應用：（1）如圖3，正方形AOBC傾斜α運動后，其各邊中點E，F，G，H的對應點E′，F′，G′，H′構成的四邊形是什么特殊四邊形： ；

（2）如圖4，已知點A（0，4），B（2，0），C（3，2），將△ABC傾斜α運動后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′為直角，其中點A′，B′，C′為點A，B，C的對應點．請求出cosα的值．

Answer 1

【答案】理解（1）（，1）；（2）M′N′與MN平行且相等；應用（1）矩形；（2）．

【解析】

試題分析：理解：

（1）根據題目中稱點P到P′的運動為傾α運動的定義來求Q′的坐標；

（2）根據題目中圖形E的傾α運動的定義可以判斷M′N′與MN的關系；

應用：

（1）參考理解（2）可得，正方形AOBC旋轉后形成菱形，菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形；

（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函數求得cosα的值．

試題解析：（1）如圖1，過點Q作QA⊥x軸，垂足為A，過旋轉Q′作x軸的垂線，垂足為B，在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，由勾股定理得AB=，∴OB=，∴Q′的坐標為（，1）．故答案為：（，1）；

（2）M′N′與MN平行且相等，理由如下：

如圖2，分別過點M、N作MA⊥x軸于點A，NB⊥x軸于點B，∴MN∥AB，且MN=AB，由定義可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，∴四邊M′ABN′是平行四邊形，∴M′N′∥AB，M′N′=AB，∴M′N′與MN平行且相等．

應用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋轉后形成菱形，菱形的四邊中點組成的四邊形是矩形．

故答案為：矩形；

（2）能，cosα=．如圖3，設AB的中點為D，∴D點坐標為（1，2），∴CD∥x軸，且CD=2，∵D點對應點D′是A′B′中點，C′D′=2，∴C′D′=A′B′，∴A′B′=4=OA′，∵∠α=∠OA′B′，∴cosα=．