Question

【題目】如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點B在函數y= （k＞0，x＞0）的圖象上點P（m，n）是函數圖象上任意一點，過點P分別作x軸y軸的垂線，垂足分別為E，F．并設矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面積為S．
（1）求k的值；
（2）當S= 時，求P點的坐標；
（3）寫出S關于m的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正方形OABC的面積為9，∴OA=OC=3，∴B（3，3），

又∵點B（3，3）在函數y= 的圖象上，∴k=9；

（2）解：分兩種情況：①當點P在點B的左側時，

∵P（m，n）在函數y= 上，

∴mn=9，

∴S=m（n﹣3）=mn﹣3m= ，解得m= ，

∴n=6，∴點P的坐標是P（ ，6）；

②當點P在點B的右側時，

∵P（m，n）在函數y= 上，

∴mn=9，

∴S=n（m﹣3）=mn﹣3n= ，

解得n= ，∴m=6，

∴點P的坐標是P（6， ），

綜上所述：P（6， ），（ ，6）．

（3）解：當0＜m＜3時，點P在點B的左邊，此時S=9﹣3m，

當m≥3時，點P在點B的右邊，此時S=9﹣3n=9﹣ ．

【解析】（1）根據正方形的面積求得B的坐標，利用待定系數法求得反比例函數的解析式；（2）分成P在B的左側和右側兩種情況進行討論．當P在B的左側時，重合部分是以OC為邊的矩形，根據面積公式求得P的橫坐標，進而代入反比例函數解析式求得縱坐標；當P在B的右側時，重合部分是以OA為一邊的矩形，根據面積公式求得P的縱坐標，進而求得橫坐標；（3）與（2）的解法相同，分成兩種情況進行討論．
【考點精析】通過靈活運用比例系數k的幾何意義，掌握幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積即可以解答此題．