Question

已知，如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，點P從點A沿AB以每秒2cm的速度向點B運動，點Q從點C以每秒1cm的速度向點A運動，設點P、Q分別從點A、C同時出發，運動時間為t（秒）（0＜t＜6），回答下列問題：
（1）直接寫出線段AP、AQ的長（含t的代數式表示）：AP=

2t

，AQ=

6-t

；
（2）設△APQ 的面積為S，寫出S與t的函數關系式；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，那么是否存在某一時間t，使四邊形PQP′C為菱形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據∠A=60°，AB=12cm，得出AC的長，進而得出AP=2t，AQ=6-t．
（2）過點P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=

3

t，從而求得S與t的函數關系式；
（3）過點P作PM⊥AC于M，根據菱形的性質得PQ=PC，則可得出PN=QM=CM，求得t即可．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由題意知：AP=2t，AQ=6-t，

（2）如圖①過點P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=

3

t，
∴S=

1

2

×AQ×PH=

1

2

×

3

t×（6-t）=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）當t=4時，四邊形PQP′C是菱形，
證明：如圖②過點P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=

1

2

AP=tcm，
∴QC=AM，當PC=PQ時，即CM=MQ=AQ=

1

3

AC=2時，
∴四邊形PQP′C是菱形，
即當t=4時，四邊形PQP′C是菱形．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、菱形的性質等知識點，是中考壓軸題，難度偏大，正確利用菱形判定得出是解題關鍵．