Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．

（1）試說明：△COD是等邊三角形；

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當∠BOC為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) 110°或125°或140°.

【解析】

（1）根據△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，得CO=CD，∠OCD=60°故△COD是等邊三角形；（2）求得∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°即可知△AOD是直角三角形；（3）分別求出∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，再根據等腰三角形的底角相同分3中情況討論.

解：（1）∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；
（2）∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）∵△COD是等邊三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，
當∠AOD=∠ADO時，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°，解得α=125°；
當∠AOD=∠DAO時，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°；
當∠ADO=∠DAO時，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，解得α=110°，
綜上所述，∠BOC的度數為110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．