Question

在平面內畫了若干個點，任意三點都不在同一直線上，連接任意兩點共得到直線45條．
（1）問該平面上共畫了多少個點？
（2）解決該問題是否得到了一個一元二次方程？如果不是，指出得到的方程的名稱；如果是，求出這個方程的兩根之和、兩根之積，并求出兩根的倒數和．

Answer 1

分析：（1）根據過兩點的直線有1條，過不在同一直線上的三點的直線有3條，過任何三點都不在一條直線上四點的直線有6條，按此規律，由特殊到一般，總結出公式：平面內任意三個點都不在同一直線上，平面內有n個點，一共可以畫直線的條數為

n(n-1)

2

；
（2）根據上題得到的方程進行判定即可．

解答：解：（1）設平面內有n個點，一共可以畫（n-1）+…+4+3+2+1=

n(n-1)

2

=45，
整理得：n²-n-90=0
解得：n₁=10或n₂=-9（舍去），
答：該平面上共畫了10個點；
（2）問題中得到了方程：n²-n-90=0
是有關n的一元二次方程，兩根之和為1，兩根之積為-90，

1

n1

+

1

n2

=

n1+n2

n1n2

=-

1

90

；

點評：本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是總結出平面內n個點連接任意兩點得到的直線的條數．