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矩形OBCD在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,其中三個頂點(diǎn)分別是O(0,0),B(0,3),D(-2,0),直線AB交x軸于點(diǎn)A(1,0).
(1)求直線AB的解析式;
(2)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)E作x軸的平行線EF交AB于點(diǎn)F,將直線AB沿x軸向右平移2個單位,與x軸交于點(diǎn)G,與EF交于點(diǎn)H,請問過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得S△PAG=S△PEH?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;
(2)由于四邊形OBCD是矩形,根據(jù)B、C的坐標(biāo)即可確定C點(diǎn)的坐標(biāo),然后可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)根據(jù)平移的性質(zhì)易求得EH、AG的長,根據(jù)兩個三角形的面積關(guān)系可求出EH、AG邊上高的比例關(guān)系,進(jìn)而可確定P點(diǎn)的縱坐標(biāo),進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)經(jīng)過A(1,0),B(0,3)的直線AB的解析式為y=kx+3;
設(shè)k+3=0,
解得k=-3.
∴直線AB的解析式為y=-3x+3.

(2)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+3
∵D(-2,0),B(0,3)是矩形OBCD的頂點(diǎn),
∴C(-2,3);

解得
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴頂點(diǎn)E(-1,4).

(3)存在.
解法1:∵EH∥x軸,直線AB交EH于點(diǎn)F.
∴將y=4代入y=-3x+3得F(-,4)
∴EF=
有平移性質(zhì)可知FH=AG=2
∴EH=EF+FH=+2=
設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yp
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時,
有S△PAG=S△PEH
×2×yp=×××(4-yp
解得yp=2
∴-x2-2x+3=2
解得x1=-1+,x2=-1-
∴存在點(diǎn)P1(-1+,2),點(diǎn)P2(-1-,2)
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時
由S△PAG=S△PEH
×2×(-yp)=
∴-yp=4-yp∴yp不存在,
∴點(diǎn)P不能在x軸下方.
綜上所述,存在點(diǎn)
使得S△PAG=S△PEH
解法2:∵EH∥x軸,直線AB交BH于點(diǎn)F.
∴將y=4代入y=-3x+3得F(-,4),
∴EF=
由平移性質(zhì)可知FH=AG=2.
∴EH=EF+FH=+2=
設(shè)點(diǎn)P到EH和AG的距離分別為h1和h2
由S△PAG=S△PEH
∴h1=h2
顯然,點(diǎn)P只能在x軸上方,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2
∴-x2-2x+3=2
解得
∴存在點(diǎn),點(diǎn)
使得S△PAG=S△PEH
點(diǎn)評:此題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定,平移的性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識,能夠根據(jù)△PAG和△PEH的面積關(guān)系來確定P點(diǎn)縱坐標(biāo)是解答(3)題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求直線AB的解析式;
(2)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)E作x軸的平行線EF交AB于點(diǎn)F,將直線AB沿x軸向右平移2個單位,與x軸交于點(diǎn)G,與EF交于點(diǎn)H,請問過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得S△PAG=
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S△PEH?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(2)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并寫出其頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)E作x軸的平行線EF交AB于點(diǎn)F,將直線AB沿x軸向右平移2個單位,與x軸交于點(diǎn)G,與EF交于點(diǎn)H,請問過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得S△PAG=S△PEH?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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