Question

一個反比例函數的圖象經過點A（1，3），O是原點．
（1）點B是反比例函數圖象上一點，過點B作BC⊥x軸于C，作BD⊥y軸于D，四邊形OCBD的周長為8，求OB長．
（2）作直線OA交反比例函數圖象于點A′，在反比例函數圖象上是否存在點P（記橫坐標為m）使得△APA′面積為2m？若存在，求P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用待定系數法即可求得反比例函數的解析式，B的坐標是（a，b），則ab=3；四邊形OCBD的周長為8，|則a|+|b|=4，根據完全平方公式即可求解；
（2）A′的坐標以及直線AA′的解析式可以求得，然后根據點到直線的距離即可利用m表示出點P到直線 AA’的距離，利用三角形的面積公式即可得到關于m的方程，解方程即可求得m的值．

解答：解：（1）設反比例函數的解析式是：y=

k

x

，把A的坐標代入得：k=3，
則函數的解析式是：y=

3

x

；
設B的坐標是（a，b），則ab=3，
∵四邊形OCBD的周長為8，
∴|a|+|b|=4，
∴OB=

|a|2+|b|2

=

(|a|+|b|)2-2|a||b|

=

16-2×3

=

10

；

（2）作直線OA交反比例函數圖象于點A′，則A′的坐標是（-1，-3），
AA’所在直線方程為y=3x，
AA’=2

10

，P坐標為（m，

3

m

）
點P到直線 AA’的距離d=

|3m- 3 m |

1+32

=

|3m- 3 m |

10

面積S=

1

2

×2

10

•

|3m- 3 m |

10

=|3m-

3

m

|=2m，
①3m-

3

m

＞0時，m∈（-1，0）∪（1，+∞）
  3m-

3

m

=2m，解得m=

3

或-

3

（-

3

不合題意，舍去）；
②3m-

3

m

＜0時，m∈（-∞，-1）∪（0，1）
  3m-

3

m

=-2m  解得m=

15

5

或-

15

5

（-

15

5

不合題意，舍去）．

點評：本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式，以及三角形的面積，正確求得P到直線 AA’的距離是關鍵．