Question

在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為（-8，0）和（0，6）．將矩形OABC繞點O順時針旋轉α度，得到四邊形OA′B′C′，使得邊A′B′與y軸交于點D，此時邊OA′、B′C′分別與BC邊所在的直線相交于點P、Q．
（1）如圖1，當點D與點B′重合時，求點D的坐標；
（2）在（1）的條件下，求的值；
（3）如圖2，若點D與點B′不重合，則的值是否發生變化？若不變，試證明你的結論；若有變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將坐標轉化為矩形邊長，再用勾股定理求矩形對角線OB的長，可得點D的坐標；
（2）因為OC=AB=6，利用∠A′OB′的正切值可求PC，同理可求CQ，已知OD，可求的值；
（3）用平移法將PQ平移到C′E的位置，證明△OC′E∽△A′OD，可證==（定值）
解答：解：（1）∵將矩形OABC繞點O順時針旋轉α度，得到四邊形OA'B'C'，
且A、C的坐標分別為（-8，0）和（0，6），
∴OA'=OA=8，A'B'=AB=OC=6
∴
∴點D的坐標為（0，10）（2分）

（2）∵OB'=10，CO=6，∴B'C=4
∵，且CO=6，
∴
同理CQ=3
∴
∴
（或：∵
∴）

（3）如圖所示，作C′E∥OA交OP于點E，
∵C′E∥OA，且PE∥CQ，
∴四邊形PEC′Q是平行四邊形，
∴PQ=C′E，
∵C′E⊥OD，A′B′⊥A′O，
∴∠C′EO+∠EOD=90°，∠ODA′+∠EOD=90°
∴∠C'EO=∠ODA'
又∵∠EOC'=∠DA'O=90°
∴△C'EO∽△ODA′
∴
∴的值不會發生改變．
點評：本題考查了旋轉的性質，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的相關知識．