Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，C是優弧AB上一點，設∠OAB=α，∠C=β．
（1）當α=35°時，求β的度數；
（2）猜想α與β之間的關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，根據三角形外心的性質可知：OA=OB；則在等腰△AOB中∠OBA=∠OAB；則再根據三角形內角和定理可以求得∠AOB的度數；最后根據圓周角定理可以求得β的度數；
（2）由（1）可猜想α與β之間的關系是α+β=90°；同（1）一樣∠OBA=∠OAB=α，則∠AOB=180°-2α，β=∠C=∠AOB，所以可求β=（180°-2α）=90°-α，則α+β=90度．
解答：解：（1）連接OB，則OA=OB；
∵∠OAB=35°，
∴∠OBA=∠OAB=35°，
∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
∴β=∠C=∠AOB=55°．

（2）α與β之間的關系是α+β=90°；
證明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=∠AOB，
∴β=（180°-2α）=90°-α，
∴α+β=90°．
點評：本題考查了三角形的外接圓的性質以及圓周角定理．要熟練掌握這些性質定理才能靈活運用．