Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作CA⊥x軸，CB⊥y軸，點(diǎn)A、B是垂足．
定義：若長(zhǎng)方形OACB的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，則點(diǎn)C是平面直角坐標(biāo)系中的平衡點(diǎn)．
（1）請(qǐng)判斷下列是平面直角坐標(biāo)系中的平衡點(diǎn)的是；（填序號(hào)）
①E（1，2）②F（﹣4，4）
（2）若在第一象限中有一個(gè)平衡點(diǎn)N（4，m）恰好在一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)）的圖象上；
①求m、b的值；
②一次函數(shù)y=﹣x+b（b為常數(shù)）與y軸交于點(diǎn)D，問：在這函數(shù)圖象上，是否存在點(diǎn)M，使S△OMD=3S△OND ， 若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）過點(diǎn)P（0，﹣2），且平行于x軸的直線上有平衡點(diǎn)Q嗎？若有，請(qǐng)求出平衡點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若沒有，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）②
（2）

解：①∵N是第一象限中的平衡點(diǎn)，

∴4m=2（4+m），解得m=4，

∴N（4，4），

∵N點(diǎn)在y=﹣x+b的圖象上，

∴4=﹣4+b，解得b=8；

②由①可知一次函數(shù)解析式為y=﹣x+8，

∴D（0，8），

∴OD=8，且N（4，4），

∴S△OND= ×4×8=16，

∴S△OMD=3S△OND=3×16=48，

設(shè)M坐標(biāo)為（t，﹣t+8），則M到y(tǒng)軸的距離為|t|，

∴ ×8×|t|=48，解得t=12或t=﹣12，

當(dāng)t=12時(shí)，﹣t+8=﹣4，當(dāng)t=﹣12時(shí)，﹣t+8=20，

∴存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（12，﹣4）或（﹣12，20）；

（3）

解：∵PQ∥x軸，且P（0，﹣2），

∴可設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，﹣2），

∵點(diǎn)Q為平衡點(diǎn)，

∴2|x|=2（|x|+2），該方程無(wú)解，

∴不存在滿足條件的Q點(diǎn)．

【解析】解：（1）∵1×2≠2×（|﹣1|+2），4×4=2×（|﹣4|+4），
∴點(diǎn)E不是平衡點(diǎn)，點(diǎn)N是平衡點(diǎn)，
所以答案是：②；
【考點(diǎn)精析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小．