Question

（2010•咸寧）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與線段CD的交點為E，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．
（1）當t=0.5時，求線段QM的長；
（2）當0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當t＞2時，連接PQ交線段AC于點R．請探究是否為定值？若是，試求這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行線分線段成比例定理的推論可知Rt△AQM∽Rt△ACF，那么可得比例線段，從而求出QM；
（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，可得DE+CP=CD，從而可求t；②當∠PQC=90°時，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例線段，結合EQ=EM-QM=4-2t，可求t；
（3）為定值．當t＞2時，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求．
解答：解：（1）過點C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．
∴CF=4，AF=2，
此時，Rt△AQM∽Rt△ACF，（2分）
∴，
即，
∴QM=1；（3分）

（2）∵∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，
此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2內，（5分）
②當∠PQC=90°時，如備用圖1，
此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴，
∴，在0＜t＜2內；
綜上所述，t=1或；（8分）（說明：未綜述，不扣分）

（3）為定值．
當t＞2時，如備用圖2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四邊形AMQP為矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴．
點評：本題利用了矩形的性質、相似三角形的判定和性質，還要掌握多種情況下的討論解題法．