Question

如圖在直角坐標系xOy中，A、B是x軸上兩點，以AB為直徑的圓與y軸交于點C，設A、B、C的拋物線的解析式為y=

1

6

x2-mx+n且方程

1

6

x2-mx+n=0的兩根的倒數和為

5

36

．
（1）求n的值；
（2）求m的值和A、B、C三點的坐標；
（3）點P、Q分別從A、O兩點同時出發，以相同的速度沿AB、OC向B、C運動，連接PQ并延長，與BC交于點M，設AP=k，問是否存在這樣的k值，使以P、B、M為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式可知：C點坐標應為（0，n），那么OC=-n；由于AB是⊙O的直徑，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，根據射影定理即可得到關于n的方程，由此可求出n的值；
（2）設出A、B的坐標，根據根與系數的關系及已知方程的兩根的倒數和即可求出m的值，進而可求出A、B的坐標；而C的坐標在（1）中已經求得；
（3）所求的兩個三角形中，已知的相等角有：∠PBM=∠ABC，若兩個三角形相似只有兩種可能：
①∠BPM=∠BAC，此時PM∥AC，可根據相似三角形得到的比例線段求出k的值；
②∠BPM=∠BCA，在（1）中已經證得∠BCA=90°，所以無論P、Q在何位置，這兩個三角形都不相似．

解答：解：（1）設A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜0，x₂＞0，則OA=-x₁，OB=x₂，OC=-n．
∵AB是直徑，OC⊥AB，∴OC²=OA•OB，即n²=-x₁x₂；
又x₁x₂=6n，∴n²=-6n，∴n₁=-6，n₂=0（舍去），∴n的值為-6；

（2）∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

5

36

，
x₁+x₂=6m，x₁x₂=-6n，
∴

6m

-6n

=

5

36

，∴m=-

5

6

故拋物線的解析式為y=

1

6

x2+

5

6

x-6；
A、B、C的坐標為A（-9，0）、B（4，0）、C（0，-6）；

（3）如圖（見原題）所示，當∠BPM=∠BAC，或當∠BPM=∠BCA時，以P、B、M為頂點的三角形與△ABC相似；
當∠BPM=∠BAC時，PM∥AC；此時

OP

OA

=

OQ

OC

，∴

9-k

9

=

k

6

，k=3.6．
∵∠ACB=90°
而∠BPM＜∠AOC=90°，∴無論P、Q在何位置，都有∠BPM≠∠BCA；
故只有當k=3.6時，△PBM∽△ABC．

點評：此題是二次函數的綜合題，考查的知識點有：一元二次方程根與系數的關系、圓周角定理、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定等知識；要注意的是（3）題在不確定相似三角形的對應邊和對應角的情況下要分類討論，以免漏解．