Question

（2012•盧灣區(qū)一模）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E是AB邊上一點(diǎn)，EF⊥CE交AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作∠AEH=∠BEC，交射線FD于點(diǎn)H，交射線CD于點(diǎn)N．
（1）如圖a，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時(shí)，求BE的長(zhǎng)；
（2）如圖b，當(dāng)點(diǎn)H在線段FD上時(shí)，設(shè)BE=x，DN=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）連接AC，當(dāng)△FHE與△AEC相似時(shí)，求線段DN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由已知條件證明BE=BC即可求出BE的長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)E作EG⊥CN，垂足為點(diǎn)G，利用矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明CN=2CG=2BE，即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）首先證明∠HFE=∠AEC，當(dāng)△FHE與△AEC相似時(shí)，再分∠FHE=∠EAC和∠FHE=∠ECA兩種情況求出滿足題意的DN的值即可．

解答：解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF=∠BEC，
∴∠AEF=∠BEC=45°，
∵∠B=90°，
∴BE=BC，
∵BC=3，
∴BE=3；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥CN，垂足為點(diǎn)G，
∴四邊形BEGC是矩形，
∴BE=CG，
∵AB∥CN，
∴∠AEH=∠ENC，∠BEC=∠ECN，
∵∠AEH=∠BEC，
∴∠ENC=∠ECN，
∴EN=EC，
∴CN=2CG=2BE，
∵BE=x，DN=y，CD=AB=4，
∴y=2x-4（2≤x≤3）；

（3）∵∠BAD=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠AFE=∠CEB，
∴∠HFE=∠AEC，
當(dāng)△FHE與△AEC相似時(shí)，
（ⅰ）若∠FHE=∠EAC，
∵∠BAD=∠B，∠AEH=∠BEC，
∴∠FHE=∠ECB，
∴∠EAC=∠ECB，
∴tan∠EAC=tan∠ECB，
∴

BC

AB

=

BE

BC

，
∵AB=4，BC=3，
∴BE=

9

4

，
∵設(shè)BE=x，DN=y，y=2x-4，
∴DN=

1

2

；
（ⅱ）若∠FHE=∠ECA，如所示，設(shè)EG與AC交于點(diǎn)O，
∵EN=EC，EG⊥CN，
∴∠1=∠2，
∵AH∥EG，
∴∠FHE=∠1，
∴∠FHE=∠2，
∴∠2=∠ECA，
∴EO=CO，
設(shè)EO=CO=3k，則AE=4k，AO=5k，
∴AO+CO=8k=5，
∴k=

5

8

，
∴AE=

5

2

，BE=

3

2

，
∴DN=1，
綜上所述，線段DN的長(zhǎng)為

1

2

或1時(shí)△FHE與△AEC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，題目難度大，綜合性很強(qiáng)，是培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力不錯(cuò)的一道題目．