Question

（2008•莆田）閱讀理解：如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點P在BC邊上，當∠APD=90°時，易證△ABP∽△PCD，從而得到BP•PC=AB•CD，解答下列問題．
（1）模型探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B=∠C=∠APD時，求證：BP•PC=AB•CD；
（2）拓展應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于點O，以O為頂點，以BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，點P為線段OC上一動點（不與端點O、C重合）
（i）當∠APD=60°時，求點P的坐標；
（ii）過點P作PE⊥PD，交y軸于點E，設PO=x，OE=y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要通過證△ABP和△PCD相似來解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它們的補角都相等，進而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可證得兩三角形相似，即可得出所求的結論．
（2）①當∠APD=60°，符合了（1）題的條件，因此（1）的結論在本題適用，可據此求出BP的長，然后在直角三角形ABO中求出OB的長，由此可得出P點的坐標．
②本題要通過相似三角形進行求解．過D作DM⊥BC于M，可分兩種情況進行討論：
（一）：當P在OM上時，PM=OM-OP=5-x，可證△OPE∽△MDP，從而得出y與x的函數關系式；
（二）：當P在CM上時，PM=OP-OM=x-5，同樣可證△OPE∽△MDP，從而得出y與x的函數關系式．
解答：（1）證明：∵∠B=∠C=∠APD，
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD，
∴∠BAP=∠DPC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP：CD=AB：PC，
∴BP•PC=AB•CD．

（2）解：①∵∠B=∠C=∠APD=60°，
由（1）知，BP•PC=AB•CD．
∵AB=4，BC=10，CD=6，
設BP=x，則PC=BC-BP=10-x，
∴x（10-x）=4×6，
整理，得x²-10x+24=0，
解得x=4或6，
即BP=4或6．
在直角△AOP中，∠AOP=90°，∠B=60°，
∴BO=AB•cos60°=2，
∴OP=BP-BO=2或4．
∴點P的坐標為（2，0）或（4，0）；
②過點D作DM⊥BC，則CM=3，DM=3，
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5．
第一種情況：當點P在線段OM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（5-x），
∴y=-x²+x（0＜x≤5）；
第二種情況：當點P在線段CM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3=y：（x-5），
∴y=x²-x（5＜x＜8）．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質和判定等知識點，根據相似三角形的對應邊成比例得出與所求相關的比例線段是解題的關鍵．