Question

如圖，十三個邊長為正整數的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．

Answer 1

解：已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余正方形的邊長依次填在每個正方形中，
它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2z及5x-2y+z．
因矩形對邊相等，
所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．
化簡上述的兩個方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，
消去z得18x=49y．
因為18與49互質，
所以x、y的最小自然數解是x=49，y=18，
此時z=38．
以x=49，y=18，z=38代入矩形長、寬的表達式11x+3y及8x+8y-3z，
得長、寬分別為593和422．
此時得最小面積值是593×422=250246．
分析：根據小正方形的排列特點，表示出每個小正方形的邊長，再根據矩形對邊相等列出等式得到x與y的關系式，推出x、y的最小值，即可得到矩形的面積最小值．
點評：此題考查了矩形的性質與正方形的性質，要觀察圖形的特點，根據圖形特點結合矩形的性質解答是解題的基本思路．