Question

【題目】已知矩形，，，為邊上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，以為直徑作分別交，于點(diǎn)，，連結(jié)，．

（1）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明：．

（2）若為等腰三角形時，求的長．

（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)．

①當(dāng)點(diǎn)落在線段上時，設(shè)線段，交于點(diǎn)，求與的面積之比．

②在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形內(nèi)時(不包括邊界)，則的范圍是________(直接寫出答案)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4或5或6；（3）①6：5；②．

【解析】

（1）由為直徑，可得，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，據(jù)此證明，可得．

（2）為等腰三角形，需要分類討論：①，②，③，綜合三種情況可得的長．

（3）①與的高相等，面積之比等于底之比；連接，證明∥，再利用相似三角形性質(zhì)易求得與的面積之比．

②當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時，通過證明，可得長，即可得的最小值，最大值很容易看出為10．

（1）∵為直徑，∴，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，

在和中，

∴，

∴．

（2）如圖1，為等腰三角形，分三種情況：

①時，

∵為直徑，∴，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴,，∴，

在和中，

∴，

∴，

∴．

②時，如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AD于M，

∵，EM⊥AD，∴，，

∴，

∴，

∴，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴由（1）得，

∴．

③當(dāng)時，如圖，過點(diǎn)D作DN⊥AE于N，

∵，DN⊥AE，∴，，

∵，∴，

∴，∴，即，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，即，∴，

∴，

綜上所述，或5或6．

（3）①如圖2，點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，連接，連接，

由軸對稱性質(zhì)得：，，，，

∴，

∴，

∴在和中，

∴

∴，，

∵，∴，

∵AE⊥BG，∴，

∵，∴，，

∴，∴，

∴，即與的面積之比為．

②如圖3，

當(dāng)點(diǎn)落在矩形對角線上時，

∵，

∴，

∴，

∴，∴ ，即，

∴，

則當(dāng)點(diǎn)向右運(yùn)動且不與點(diǎn)重合時，始終落在四邊形內(nèi)部，

∴，

故答案為：．