Question

如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃，…，過點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…分別作x軸的垂線與反比例函數(shù)y=

2

x

(x≠0)的圖象相交于點(diǎn)P₁、P₂、P₃、…，得直角三角形OP₁A₁、A₁P₂A₂、A₂P₃A₃、…，設(shè)其面積分別為S₁、S₂、S₃、…，則S_n的值為

1

n

．

Answer 1

分析：因?yàn)檫^雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，S=

|k|

2

，由反比例函數(shù)解析式中k=2，得出△OA₁P₁，△OA₂P₂，△OA₃P₃，…，△OA_nP_n的面積都為1，而A_n-1A_n為OA_n的

1

n

，且△A_n-1A_nP_n與△OA_nP_n的高為同一條高，故△A_n-1A_nP_n的面積為△OA_nP_n的面積的

1

n

，由△OA_nP_n的面積都為1，得出△A_n-1A_nP_n的面積，即為S_n的值．

解答：解：連接OP₂，OP₃，…，OP_n，如圖所示：

∵過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，
∴S=

2

2

=1，即S_△OA1P1=S_△OA2P2=S_△OA3P3=…=S_△OAnPn=1，
又OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n，∴A_n-1A_n=

1

n

OA_n，
∴S_n=S_△An-1AnPn=

1

n

S_△OAnPn=

1

n

．
故答案為：

1

n

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的主要知識(shí)有：反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=

|k|

2

．