Question

【題目】已知，拋物線y＝x2﹣x+與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)F．

（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為　 　；B點(diǎn)坐標(biāo)為　 　；F點(diǎn)坐標(biāo)為　 　；

（2）如圖1，C為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AC，BF交于點(diǎn)M，若BM＝FM，在直線AC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△ACP＝4，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，D、E是對(duì)稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩點(diǎn)，直線AD、AE分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，若OMON＝，求證：直線DE必經(jīng)過一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直線AC下方的拋物線上不存在點(diǎn)P，使S△ACP＝4，見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（2）在直線AC下方軸x上一點(diǎn)，使S△ACH＝4，求出點(diǎn)H坐標(biāo)，再求出直線AC的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)H坐標(biāo)，最后用過點(diǎn)H平行于直線AC的直線與拋物線解析式聯(lián)立求解，即可得出結(jié)論；

（3）聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得出，進(jìn)而得出，，再由得出，進(jìn)而求出，同理可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．

（1）針對(duì)于拋物線，

令x＝0，則，

∴，

令y＝0，則，

解得，x＝1或x＝3，

∴，

綜上所述：,,；

（2）由（1）知，，，

∵BM＝FM，

∴，

∵，

∴直線AC的解析式為：，

聯(lián)立拋物線解析式得：，

解得：或，

∴，

如圖1，設(shè)H是直線AC下方軸x上一點(diǎn)，AH＝a且S△ACH＝4，

∴，

解得：，

∴，

過H作l∥AC，

∴直線l的解析式為，

聯(lián)立拋物線解析式，解得，

∴，

即：在直線AC下方的拋物線上不存在點(diǎn)P，使；

（3）如圖2，過D，E分別作x軸的垂線，垂足分別為G，H，

設(shè)，，直線DE的解析式為，

聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得，

∴，，

∵DG⊥x軸，

∴DG∥OM，

∴，

∴，

即，

∴，同理可得

∴，

∴，

即，

∴，

∴直線DE的解析式為，

∴直線DE必經(jīng)過一定點(diǎn)．