Question

三角形角平分線交點或三角形內切圓的圓心都稱為三角形的內心．按此說法，四邊形的四個角平分線交于一點，我們也稱為“四邊形的內心”．
（1）試舉出一個有內心的四邊形．
（2）探究：對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備何種條件？
（3）探究：腰長為2的等腰直角三角形ABC，∠C=90°，O是△ABC的內心，若沿圖中虛線剪開，O仍然是四邊形ABDE的內心，此時裁剪線有多少條？為什么？
（4）問題（3）中，O是四邊形ABDE內心，且四邊形ABDE是等腰梯形，求DE的長？

Answer 1

（1）答：一個有內心的四邊形是菱形．

（2）答：對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備條件是對邊和相等．

（3）解：有無數條，
理由是根據角平分線的性質得到：O到AB的距離等于O到DE的距離，在△ABC內有無數條，如圖：具備DE∥AB即可．
（4）

解：等腰直角三角形ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2，
過D作DF⊥AB于F，過E作EQ⊥AB于Q，
∴DF∥EQ，
∵DE∥AB，
∴四邊形DEQF是平行四邊形，
∴DE=FQ，DF=EQ，
∵∠A=∠B=45°，
∴AF=DF，
同理BQ=QE，
設DE=x，AB=2，過C作CM⊥BC，交DE與N點，
由AB=AC，根據三線合一可得CM=，
由三角形的面積有兩種求法，S=AC•BC=（AC+BC+AB）•OM，
即4=（2+2+2）×OM，解得：OM=2-，
∴NM=2OM=4-2，CN=-（4-2）=3-4，
又△CDE∽△CAB，
∴=，即=，
解得：x=6-8，
則DE=6-8．
分析：（1）對角線平分每一對角的四邊形都可以，如菱形、正方形；
（2）對于任意四邊形ABCD，如果有內心，則四邊形的邊長具備條件是對邊和相等；
（3）根據O到AB的距離等于O到DE的距離，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2，過D作DF⊥AB于F，過E作EQ⊥AB于Q，得到平行四邊形DEQF，推出DE=FQ，DF=EQ，根據等腰直角三角形得出AF=DF=BQ=QE，設DC=x，由勾股定理求出DE、AF、BQ的長，即AF+FQ+BQ=2，代入即可求出答案．
點評：本題主要考查對平行四邊形的性質和判定，勾股定理，角平分線的性質，三角形的內切圓與內心，等腰題型的性質等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定難度．