Question

（2013•南安市質檢）如圖，已知△ABC，點A在BC邊的上方，把△ABC繞點B逆時針方向旋轉60°得△DBE，繞點C順時針方向旋轉60°得△FEC，連結AD、AF．
（1）判斷：△ABD、△ACF、△BCE是什么特殊三角形？（可直接寫出答案）
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？請說明理由；
（3）當△ABC滿足什么條件時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等邊三角形；
（2）當∠BAC=150°且AB=AC時，四邊形ADEF是正方形，理由為：由旋轉可知DE=AC，根據三角形ACF為等邊三角形，得到AC=AF，等量代換得到DE=AF，同理得到EF=AD，利用兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AFED為平行四邊形，若∠BAC=150°，利用周角定義求出∠DAF為直角，可得出平行四邊形AFED為矩形，再由AB=AC，三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形，得到AD=AF，矩形AFED為正方形，得證；
（3）當∠BAC=60°時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在，理由為：若∠BAC=60°，三角形ADB與三角形ACF都是等邊三角形，利用周角定義求出∠DAF為平角，即D、A、E、F四點共線，即以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

解答：解：（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等邊三角形，
理由為：由旋轉可知：AB=DB，∠ABD=60°，AC=FC，∠ACF=60°，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△ABD、△ACF、△BCE都是等邊三角形；

（2）當∠BAC=150°，且AB=AC時，四邊形ADEF是正方形，
理由如下：
∵△DBE是由△ABC繞點B旋轉60°而得到的，
∴DE=AC，
由（1）知△ACF為等邊三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF，
同理可得，EF=AD，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
若∠BAC=150°，則∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-150°-60°-60°=90°，
∴四邊形ADEF是矩形，
又AB=AC，∴AD=AF，
則四邊形ADEF是正方形；

（3）當∠BAC=60°時，以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在，
理由如下：
若∠BAC=60°，則∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°．
此時，點A、D、E、F四點共線，
∴以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

點評：此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：等邊三角形的判定與性質，旋轉的性質，平行四邊形，矩形，正方形的判定，以及周角的定義，是一道綜合性較強的探究性試題．