Question

【題目】如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證明是圓的切線，須證明過切點(diǎn)的半徑垂直，所以連接OB，證明OB⊥PE即可．

（2）要求sinE，首先應(yīng)找出∠E所在的直角三角形，然后利用直角三角函數(shù)求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性質(zhì)求出EP或EO的長(zhǎng)即可解決問題

（1）證明：連接OB

∵PO⊥AB，

∴AC=BC，

∴PA=PB,

在△PAO和△PBO中

,

∴△PAO和≌△PBO，

∴∠OBP=∠OAP=90°，

∴PB是⊙O的切線．

（2）連接BD，則BD∥PO，且BD=2OC=6

在Rt△ACO中，OC=3，AC=4

∴AO=5

在Rt△ACO與Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°

∴△ACO△PAO

∴

∴PO=，PA=

∴PB=PA=

在△EPO與△EBD中，

BD∥PO

∴△EPO∽△EBD

∴，

解得EB=，PE=，

∴sinE=.