Question

如圖1，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AE是BC邊上的高線，
（1）若∠ABC=40°∠ACB=80°，求∠DAE的度數；
（2）若∠ACB-∠ABC=m，試求∠DAE的度數（用含m的代數式表示）；
（3）若△ABC是鈍角三角形，如圖2，∠ACB為鈍角，（2）中條件不變，試問（2）中的結論還成立嗎？請加以推理說明？

Answer 1

分析：（1）根據三角形的內角和為180°得∠BAC=60°，根據角平分線得∠CAD=30°，再根據高線得∠CAE=60°，從而得出∠DAE；
（2）先根據三角形的內角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，再根據角平分線的性質得到∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，而AE⊥BC，即可得出∠DAE的度數；
（3）根據三角形的內角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，再根據角平分線的性質得到∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，得出∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=90°-

m

2

，而AE是BC邊上的高線，即可得出∠DAE的度數．

解答：解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=60°．
又∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠ADC=70°，
又∵AD是BC邊上的高，
∴∠EAD=20°；

（2）∵∠ACB-∠ABC=m，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，
而AD為∠BAC的角平分線，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAC-∠DAE=90°-∠C，
∴∠DAE=

m

2

．

（3）成立．
∵∠ACB-∠ABC=m，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，
而AD為∠BAC的角平分線，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=90°-

m

2

，
∵AE是BC邊上的高線，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=

m

2

．

點評：本題主要考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°，也考查了三角形的角平分線和高線的性質，難度適中．