Question

已知：如圖，MN為⊙O的直徑，l⊥MN于H，割線MCA及弦MBD分別交⊙O于C、D．
求證：MA•MC=MB•MD．

Answer 1

分析：先連接CN、DN，有MN⊥l，AB是直徑，可得一組對應角都是90°，再加上一對公共角，可證兩個直角三角形全等Rt△MND∽Rt△MBH，由此可得比例線段，同理可證另一對直角三角形全等Rt△AHM∽Rt△NCM，也可得比例線段，利用等量代換，可證此題．

解答：證明：連接CN、DN，（1分）
∵MN是直徑，
∴∠D=90°（1分）
∵l⊥MN，
∴∠MHB=90°（1分）
在△MND與△MBH中，∵∠BMH=∠NMD，
∴Rt△MND∽Rt△MBH，
∴

MN

MB

=

MD

MH

∴MB•MD=MN•MH①（2分）
同理可證Rt△AHM∽Rt△NCM，
∴

MN

MA

=

MC

MH

．
∴MN•MH=MA•MC②（2分）
由①、②，有MA•MC=MB•MD．

點評：本題利用了直徑所對的圓周角是90°、相似三角形的判定和性質、等量代換等知識．