Question

如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F。
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當EF與AC滿足什么關系時，以A，E，C，F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論。

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AE∥CF，
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
又由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形。