Question

已知拋物線y=-x²-2kx+3k²（k＞0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，以AB為直徑的⊙E交y軸于點D、F（如圖），且DF=4，G是劣弧A D上的動點（不與點A、D重合），直線CG交x軸于點P．
（1）求拋物線的解析式；
（21）當直線CG是⊙E的切線時，求tan∠PCO的值；
（31）當直線CG是⊙E的割線時，作GM⊥AB，垂足為H，交PF于點M，交⊙E于另一點N，設MN=t，GM=u，求u關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題拋物線解析式只有一個待定系數k，用k表示A、B兩點坐標，用相交弦定理OA•OB=OD•OF，可求k值，確定拋物線解析式；
（2）由（1）可求圓的直徑AB，半徑EG及OC長，連接GE，由Rt△PGE∽Rt△POC，得出對應邊的比相等，及切割線定理結合運用可求PA、PO長，在Rt△POC中，可求tan∠PCO的值．
（3）由GN∥CF，得相似，由中間比==，及GH=HN，CO=4，OF=2，得=，故HN=2HM，M為線段HN的中點，從而可得出：GM=3MN，即u=3t．
解答：解：（1）解方程-x²-2kx+3k²=0．
得x₁=-3k，x₂=k．
由題意知OA=|-3k|=3k，OB=|k|=k．
∵直徑AB⊥DF．
∴OD=OF=DF=2．
∵OA•OB=OD•OF，
∴3k•k=2×2．
得k=±（負的舍去）．
則所求的拋物線的解析式為y=-x²-x+4．

（2）由（1）可知AO=，AB=，EG=，
∵拋物線y=-x²-2kx+3k²過C點，∴OC=3k²=4．
連接EG，∵CG切⊙E于G，
∴∠PGE=∠POC=90°，
∴Rt△PGE∽Rt△POC．
∴①，
由切割線定理得PG²=PA•PB=PA（PA+），
PO=PA+AO=PA+．
代入①式整理得：
==，
∴PA²+PA-6=0．
解得PA=3-
∵PA＞0．
∴tan∠PCO=．

（3）∵GN⊥AB，CF⊥AB，
∴GN∥CF，
∴△PGH∽△PCO，
∴．
同理．
∴．
∵CO=4，OF=2，
∴HM=GH=HN=MN，
∴GM=3MN，
即u=3t（0＜t≤）．

點評：本題綜合性很強，涉及圓及切線性質，相交弦定理，切割線定理，利用相似三角形的中間比等知識，需要學生能熟練運用所學知識解答．