Question

（2013•徐州模擬）如圖1，在正方形ABCD內有一點P滿足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．
（1）求證：△APB≌△DPC；
（2）求證：∠PAC=∠BAP；
（3）若將原題中的正方形ABCD變為等腰梯形ABCD（如圖2），AD∥BC，且BA=AD=DC，形內一點P仍滿足AP=AB，PB=PC，試問（2）中結論還成立嗎？若成立請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據全等三角形的判定定理可解．
（2）設∠PAC=x°，∠BAP=y°，可求出∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，根據這個關系求出∠PAC=∠BAP．
（3）以D為圓心，DA為半徑畫圓，連接各線，再求出各角之間的關系即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∵BP=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
又∵AB=CD，BP=CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．

（2）設∠PAC=x°，∠BAP=y°，則∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由圖形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=∠BAP．

（3）以D為圓心，DA為半徑畫圓，設∠PAC=x°，∠BAP=y°，
則∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由圖形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=∠BAP．
點評：本題難度較大，綜合了全等三角形的判定定理，等腰梯形以及圓的有關知識．