Question

（本小題滿分8分）
如圖，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）若用陰影扇形OBD圍成一個圓錐側面，請求出這個圓錐的底面圓的半徑．

(3) 試判斷⊙O中其余部分能否給（2）中的圓錐做兩個底面。

Answer 1

解：（1）法一：過O作OE⊥AB于E，則AE=AB=2．····················· 1分
  
在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．
∴OA===4． …………………………2分
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．∵AC⊥BD，∴．
∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．······················································· 3分
∴S_陰影==．································································· 4分
法二：連結AD．∵AC⊥BD，AC是直徑，

∴AC垂直平分BD．     ……………………1分

∴AB=AD，BF=FD，． ∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．        ……………………2分
∵BF=AB=2，sin60°=，AF=AB·sin60°=4×=6．
∴OB²=BF²+OF²．即．∴OB=4．   ···························· 3分
∴S_陰影=S_圓=．      ········································································ 4分
法三：連結BC．∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=90°．……………………1分

∵AB=4，∴．        ……………………2分
∵∠A=30°， AC⊥BD，∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°．
∴S_陰影=π·OA²=×4²·π=．……………………4分
以下同法一．
（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr，
∴．  ∴．       ···················································· 6分
（3）＜8－12，故能得到兩個這樣的底面。……………………8分

略