Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．
（1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由；
（2）設△BDM的面積為S₁，四邊形OCMD的面積S₂，△MCA的面積為S₃．
①用含x的代數式表示S₁、S₂和S₃，并寫出同時含S₁、S₂和S₃的等式關系；
②當點M運動到什么位置時，S₂有最大值？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，
則MC=-x+4，MD=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8．
（2）根據直線AB的解析式可得，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，4），
①設點M的坐標為（x，-x+4），
則BD=OB-OD=4-（-x+4）=x，AC=OA-OC=4-x，
從而可得S₁=x×x=x²；S₂=x（4-x）=-x²+4x；S₃=（4-x）（4-x）=x²-4x+8，
等式關系為：S₁+S₂+S₃=8；
②S₂=x（4-x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵0＜x＜4，
∴當x=2時，S₂取得最大值，最大值為4．
即當點M位于（2，2）時，S₂取得最大值，最大值為4．
分析：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，從而可得出矩形OCMD的周長，繼而可作出判斷；
（2）①先由解析式求出點B、點A的坐標，然后得出BD、AC的長度，繼而根據三角形、及矩形的面積公式可用含x的代數式表示S₁、S₂和S₃，也可寫出含S₁、S₂和S₃的等式關系．
②根據①所求的S₂關于x的表達式，利用配方法確定最值即可．
點評：本題考查了一次函數綜合題，解答本題的關鍵是熟練點的坐標與線段長度之間的轉化，掌握三角形及矩形的面積計算公式，總體來說本題難度不大．