Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，過點A作邊BC的垂線AF交DC的延長線于點E，點F是垂足，連接BE，DF，DF交AC于點O。則下列結論：①四邊形ABCD是正方形；②CO：BE=1:3；③DE=BC;④S四邊形OCEF=S△AOD 正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先證明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四邊形ABEC為平行四邊形，進而由∠BAC＝90°，得四邊形ABCD是正方形，便可判斷正誤；

②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，進而得OC：BE的值，便可判斷正誤；

③根據BC＝AB，DE＝2AB進行推理說明便可；

④由△OCF與△OAD的面積關系和△OCF與△AOF的面積關系，便可得四邊形OCEF的面積與△AOD的面積關系．

解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BF＝CF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DE，

∴∠BAF＝∠CEF，

∵∠AFB＝∠CFE，

∴△ABF≌△ECF（AAS），

∴AB＝CE，

∴四邊形ABEC是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴四邊形ABEC是正方形，故此題結論正確；

②∵OC∥AD，

∴△OCF∽△OAD，

∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，

∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，

∴OC：BE＝1：3，故此小題結論正確；

③∵AB＝CD＝EC，

∴DE＝2AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AB＝BC，

∴DE＝2×，故此小題結論正確；

④∵△OCF∽△OAD，

∴，

∴，

∵OC：AC＝1：3，

∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，

∴，

∴，故此小題結論正確．

故選：D．