Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AB邊的中點，以AE為邊作正方形AEFG，連接DE，BG．

（1）發現

①線段DE、BG之間的數量關系是　 　；

②直線DE、BG之間的位置關系是　 　．

（2）探究

如圖2，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）應用

如圖3，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一周，記直線DE與BG的交點為P，若AB=4，請直接寫出點P到CD所在直線距離的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）發現：①DE=BG；②DE⊥BG；（2）探究：（1）中的結論仍然成立，理由詳見解析；（3）應用：點P到CD所在直線距離的最大值是2+2，最小值是3﹣ ．

【解析】

（1）證明△AED≌△AGB可得出兩個結論；

（2）①根據正方形的性質得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根據SAS推出△EAD≌△GAB即可；

②根據全等三角形的性質得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；

（3）先確定點P到CD所在直線距離的最大值和最小值的位置，再根據圖形求解．

解：（1）①線段DE、BG之間的數量關系是：DE=BG，

理由是：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BDA=90°，

∴∠BAG=∠BAD=90°，

∵四邊形AEFG是正方形，

∴AE=AG，

∴△AED≌△AGB（SAS），

∴DE=BG；

②直線DE、BG之間的位置關系是：DE⊥BG，

理由是：如圖2，延長DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，

∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，

∴∠BEQ+∠ABG=90°，

∴∠BQE=90°，

∴DE⊥BG；

故答案為：①DE=BG；②DE⊥BG；

（2）（1）中的結論仍然成立，理由是：

①如圖3，

∵四邊形AEFG和四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，

在△EAD和△GAB中，

，

∴△EAD≌△GAB（SAS），

∴ED=GB；

②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB，

∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，

∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°﹣90°=90°，

∴ED⊥GB；

（3）將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一周，即點E和G在以A為圓心，以2為半徑的圓上，過P作PH⊥CD于H，

①當P與F重合時，此時PH最小，如圖4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2，

∴∠ADE=30°，DE==2，

∴DF=DE﹣EF=2﹣2，

∵AD⊥CD，PH⊥CD，

∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°，

∵cos30°==，

∴PH=（2﹣2）=3﹣；

②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中點O為圓心，以BD為直徑作圓，P、A在圓上，

當P在的中點時，如圖5，此時PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=4，

則半徑OB=OP=2，

∴PH=2+2．

綜上所述，點P到CD所在直線距離的最大值是2+2，最小值是3﹣．