Question

【題目】如圖一，在射線的一側以為一條邊作矩形，，，點是線段上一動點（不與點重合），連結，過點作的垂線交射線于點，連接．

（1）求的大小；

（2）問題探究：動點在運動的過程中，

①是否能使為等腰三角形，如果能，求出線段的長度；如果不能，請說明理由．

②的大小是否改變？若不改變，請求出的大小；若改變，請說明理由．

（3）問題解決：

如圖二，當動點運動到的中點時，與的交點為，的中點為，求線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①能，的值為5或；②大小不變，；（3）.

【解析】

（1）在中，求出的正切值即可解決問題．

（2）①分兩種情形：當時，當時，分別求解即可．

②．利用四點共圓解決問題即可．

（3）首先證明是等邊三角形，再證明垂直平分線段，解直角三角形即可解決問題．

解：（1）如圖一（1）中，

∵四邊形是矩形，

∴，

∵，

∴．

（2）①如圖一（1）中，當時，

∵，，，

∴，

∴，

在中，∵，，

∴，

∵，，

∴是等邊三角形，

∴，

∴．

如圖一（2）中，當時，易證，

∵，

∴，∵，

∴，

∴，

∴，

綜上所述，滿足條件的的值為5或．

②結論：大小不變．

理由：如圖一（1）中，∵，

∴四點共圓，

∴．

如圖一（2）中，∵，

∴四點共圓，

∴，

∵，

∴，

綜上所述，．

（3）如圖二中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴垂直平分線段，

∴，

∴，

∵，，

∴．