Question

如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=1，PB=2，PC=3．試求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得AB與BC重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BPP′是等腰直角三角形，然后求出PP′，再根據(jù)勾股定理逆定理判定出△PP′C是直角三角形，然后求出∠BP′C的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠APB=∠BP′C．

解答：證明：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使得AB與BC重合，
則P′C=PA=1，△BPP′是等腰直角三角形，
∵PB=2，
∴PP′=

2

PB=2

2

，
在△PP′C中，PP′²+P′C²=（2

2

）²+1²=9，
PC²=3²=9，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴△PP′C是直角三角形，
∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°，
∵△CBP′是△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴∠APB=∠BP′C=135°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小，勾股定理的逆定理，作出圖形并判斷出△PP′C是直角三角形是解題的關(guān)鍵．