Question

已知拋物線y=x²+px+q上有一點M（x₀，y₀）位于x軸下方．
（1）求證：此拋物線與x軸交于兩點；
（2）設此拋物線與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）由于要證明即拋物線與x軸交于兩點，就是要證△=p²-4q＞0即可求解；
（2）由于此拋物線與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，要證明x₁＜x₀＜x₂即要證（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0即可，而這個不等式利用根與系數的關系即可求解．

解答：解：（1）∵y=x²+px+q上有一點M（x₀，y₀）位于x軸下方，
∴y₀=x₀²+px₀+q=（x₀+

p

2

）²-

p2-4q

4

＜0，
∴

p2-4q

4

＞（x₀+

p

2

）²≥0，
∴p²-4q＞0，
∴△＞0，
∴此拋物線與x軸交于兩點；

（2）∵x₁+x₂=-p，
x₁•x₂=q，
∴y₀=x₀²+px₀+q=x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂＜0，
∴（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
故x₁＜x₀＜x₂．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，其中：
（1）拋物線與x軸交點問題常轉化為二次方程根的個數、根的符號特征、根的關系來探討，需綜合運用判別式、韋達定理等知識．
（2）對較復雜的二次方程實根分布問題，常轉化為用函數的觀點來討論，基本步驟是：在直角坐標系中作出對應函數圖象，由確定函數圖象大致位置的約束條件建立不等式組．