Question

（2013•平谷區一模）如圖1、圖2、圖3，在△ABC中，分別以AB、AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE、CD相交于點O．如圖4，AB、AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC、AE是以AC為邊向△ABC外所作正n（n為正整數）邊形的一組鄰邊．BE、CD的延長相交于點O．圖1中∠BOC=

120

°；圖4中∠BOC=

360°

n

°（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質可以得出△DAC≌△BAE，再根據三角形的外角與內角的關系就可以求出∠BOC的值，在圖2中，連結BD，然后用同樣的方法證明△DAC≌△BAE，根據三角形外角與內角之間的關系就可以求出∠BOC的值，依此類推就可以得出當作n邊形的時候就可以求出圖4∠BOC的值．

解答：解：如圖1，∵△ABD和△AEC是等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，

DA=BA ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠OBDA=60°+60°=120°=

360

3

．
故答案為：120°．
如圖2，連結BD，
∵四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，∠BDA=∠DBA=45°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠CAD=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠DBA=45°+45°=90°=

360°

4

；
如圖3，連結BD，
∵五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=108°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE，∠ABD=∠ADB=36°
∴∠BAE=∠DAC
在△BAE和△DAC中，

BA=DA ∠BAE=∠DAC EA=CA

，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=∠OBD+∠BDO，
∴∠BOC=∠ADB+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABD=72°=

360

5

；
依此類推，當作正n邊形時，∠BOC=

360°

n

．
故答案為：

360°

n

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，正五邊形的性質的運用及正n邊形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時根據正多邊形的性質證明三角形全等是關鍵．