Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A．C分別在x軸、y軸上，反比例函數的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN．

下列結論：

①△OCN≌△OAM；

②ON=MN；

③四邊形DAMN與△MON面積相等；

④若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為．

其中正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據反比例函數的比例系數的幾何意義得到S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，而OC=OA，則NC=AM，在根據“SAS”可判斷△OCN≌△OAM；根據全等的性質得到ON=OM，由于k的值不能確定，則∠MON的值不能確定，無法確定△ONM為等邊三角形，則ON不一定等于MN；根據S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四邊形DAMN=S△OMN；作NE⊥OM于E點，則△ONE為等腰直角三角形，設NE=x，則OM=ON=x，EM=x-x=（-1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN為等腰直角三角形，得到BN=MN=，設正方形ABCO的邊長為a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值為+1，從而得到C點坐標為（0，+1）．

∵點M、N都在y=的圖象上，
∴S△ONC=S△OAM=k，即OCNC=OAAM，
∵四邊形ABCO為正方形，
∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，
∴NC=AM，
∴△OCN≌△OAM，所以①正確；
∴ON=OM，
∵k的值不能確定，
∴∠MON的值不能確定，
∴△ONM只能為等腰三角形，不能確定為等邊三角形，
∴ON不一定等于MN，所以②錯誤；
∵S△OND=S△OAM=k，
而S△OND+S四邊形DAMN=S△OAM+S△OMN，
∴四邊形DAMN與△MON面積相等，所以③正確；
作NE⊥OM于E點，如圖，

∵∠MON=45°，
∴△ONE為等腰直角三角形，
∴NE=OE，
設NE=x，則ON=x，
∴OM=x，
∴EM=x-x=（-1）x，
在Rt△NEM中，MN=2，
∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（-1）x]2，
∴x2=2+，
∵CN=AM，CB=AB，
∴BN=BM，
∴△BMN為等腰直角三角形，
∴BN=MN=，
設正方形ABCO的邊長為a，則OC=a，CN=a-，
在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，
∴a2+（a-）2=4+2，解得a1=+1，a2=-1（舍去），
∴OC=+1，
∴C點坐標為（0，+1），所以④正確．
故選：C．