Question

如圖，拋物線的頂點A的坐標（0，2），對稱軸為y軸，且經過點（-4，4）．
（1）求拋物線的表達式．
（2）若點B的坐標為（0，4），P為拋物線上一點（如圖），過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接PB．求證：PQ=PB．
（3）若點C（-2，4），利用（2）的結論．判斷拋物線上是否存在一點K，使△KBC的周長最小？若存在，求出這個最小值，并求此時點K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可將解析式設為y=a（x-k）²+h的形式，再將另一點的坐標代入即可確定待定系數．
（2）首先設P點的坐標，然后表示出PQ、PB的長，進行比較即可．
（3）BC的長是定值，若△KBC的周長最小，那么KC+KB的長最小，結合（2）的結論，當CK∥y軸，即過C作x軸的垂線時，該垂線和拋物線的交點即為符合條件的K點．
解答：（1）解：由于拋物線的頂點為（0，2），設其解析式為：y=ax²+2；
將點（-4，4）代入上式，得：a×（-4）²+2=4，a=
即：拋物線的解析式：y=x²+2．

（2）證明：設P（a，a²+2），則PQ=a²+2．
已知：B（0，4），則 PB==a²+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如圖，過C作CD⊥x軸于D，交拋物線于點K；
由于BC是定值，若△CKB的周長最小，那么 CK+KB 的值需最小．
由（2）知：KD=KB，則CD=CK+KD=CK+KB；
在拋物線上取K點外的任一點P，則：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K點即為所求．
已知C（-2，4），將x=-2代入y=x²+2中，得：y=，即 K（-2，）．
△CKB的最小周長：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．
點評：該二次函數綜合題主要考查了：函數解析式的確定、直角坐標系中兩點間的距離公式等知識，難度適中．準確找出K點位置是解答（3）的關鍵．