Question

（2013•本溪二模）已知直線l經過正方形ABCD的頂點A，過點C作CE⊥直線l于點E，連接BE

（1）如圖1，當直線l∥BC時，CE+AB=

2

BE；
（2）如圖2，當直線l繞著點A，逆時針旋轉到如圖位置時，請判斷線段BE、AE、CE三者數量關系，并證明；（3）如圖3，當直線l繞著點A，逆時針旋轉到如圖位置時，請補全圖形并判斷線段BE、AE、CE三者數量關系，不必證明．

Answer 1

分析：（1）連接BD直接由勾股定理就可以求出結論；
（2）作BF⊥BE交EA的延長線于點F，連接AC．由條件可以得出A、B、C、E四點共圓，就可以得出∠AEB=∠BEC=∠BAC=45°，就可以得出∠BFE=45°，就有BF=BE，由勾股定理就可以得出EF=

2

BE，再由△ABF≌△CBE就可以得出AF=CE，就可以得出結論；
（3）如圖3，作BF⊥BE交E，于點F，連接AC．由條件可以得出A、B、C、E四點共圓，由△ABF≌△CBE就可以得出AF=CE，就可以得出結論．

解答：解：（1）連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BBC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAC=90°．
∴BD=

2

CE，
∴BE=

2

CE
∴

2

BE=2CE，
∴

2

BE=AB+CE．
故答案為：

2

．

（2）CE+AE=

2

BE．
理由：如圖2，作BF⊥BE交EA的延長線于點F，連接AC．
∴∠FBE=90°．
∵CE⊥直線l，
∴∠AEC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、E四點共圓，
∴∠AEB=∠BEC=∠BAC=45°，
∴∠BFE=∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BF=BE．
∵∠ABF+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABF=∠EBC．
在△ABF和△CBE中，

∠BFE=∠BEC BF=BE ∠ABF=∠EBC

，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE．
在Rt△BFE中，由勾股定理，得
EF=

2

BE，
∴AF+AE=

2

BE，
∴CE+AE=

2

BE．

（3）AE-CE=

2

BE，
理由：如圖3，作BF⊥BE交EA于點F，連接AC．
∴∠FBE=90°．
∵CE⊥直線l，
∴∠AEC=90°．
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、E四點共圓，
∴∠BAE=∠BCE，
∵∠ABF+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABF=∠EBC．
在△ABF和△CBE中，

∠BFE=∠BEC AB=CB ∠ABF=∠EBC

，
∴△ABF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE．BF=BE．
在Rt△BFE中，由勾股定理，得
EF=

2

BE，
∴AE-AF=

2

BE，
∴AE-CE=

2

BE．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，四點共圓的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是解答的關鍵．