Question

（2010•西城區二模）在平面直角坐標系中，將直線l：沿x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線C₁：沿x軸平移，得到一條新拋物線C₂與y軸交于點D，與直線AB交于點E、點F．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF∥x軸，求拋物線C₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點F在y軸右側，過F作FH⊥x軸于點G，與直線l交于點H，一條直線m（m不過△AFH的頂點）與AF交于點M，與FH交于點N，如果直線m既平分△AFH的面積，又平分△AFH的周長，求直線m的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將直線與x軸、y軸交點求出，沿x軸翻折，則直線、直線AB交同一A點，與y軸的交點（0，）與點B關于x軸對稱，求出K和b；
（2）設平移后的拋物線C₂的頂點為P（h，0），則拋物線C₂解析式為：，求出D點坐標，由DF∥x軸，又點F在直線AB上，解得h的值，就能拋物線C₂的解析式；
（3）過M作MT⊥FH于T，可證三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，設FT=3k，TM=4k，FM=5k，求得FN，又由，求得k，故能求得直線m的解析式．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
將直線與x軸、y軸交點分別為（-2，0），（0，），
沿x軸翻折，則直線、直線AB與x軸交于同一點（-2，0），
∴A（-2，0），
與y軸的交點（0，）與點B關于x軸對稱，
∴B（0，），
∴，
解得，，
∴直線AB的解析式為；

（2）設平移后的拋物線C₂的頂點為P（h，0），

則拋物線C₂解析式為：=，
∴D（0，），
∵DF∥x軸，
∴點F（2h，），
又點F在直線AB上，
∴，
解得h₁=3，，
∴拋物線C₂的解析式為或；

（3）過M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設FT=3k，TM=4k，FM=5k．
則FN=-FM=16-5k，
∴．
∵=48，
又．
∴．
解得或k=2（舍去）．
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=．
∴M（，）、N（6，-4）．
∴直線MN的解析式為：．
點評：本題二次函數的綜合題，涉及的知識有求直線的解析式和拋物線關系式，三角形相似等．