Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點D、T是圓上的兩點，且AT平分∠BAD，過點T作AD延長線的垂線PQ，垂足為C．若⊙O的半徑為2，TC=，則圖中陰影部分的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OT、OD、過O作OM⊥AD于M，得到矩形OMCT，求出OM，求出∠OAM，求出∠AOT，求出OT∥AC，得出PC是圓的切線，得出等邊三角形AOD，求出∠AOD，求出∠DOT，求出∠DTC=∠CAT=30°，求出DC，求出梯形OTCD的面積和扇形OTD的面積．相減即可求出答案．
解答：解：連接OT、OD、DT，過O作OM⊥AD于M，
∵OA=OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT為半徑，
∴PC是⊙O的切線，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，
∴四邊形OMCT是矩形，
∴OM=TC=，
∵OA=2，
∴sin∠OAM=，
∴∠OAM=60°，
∴∠AOM=30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT=180°-∠OAM=120°，
∵∠OAM=60°，OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠TOD=120°-60°=60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°，
∴tan30°=，
∴DC=1，
∴陰影部分的面積是S_梯形OTCD-S_扇形OTD=×（2+1）×-=．
故答案為：．
點評：本題考查了切線的性質和判定，解直角三角形，矩形的性質和判定，勾股定理，扇形的面積，梯形的性質等知識點的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．