Question

已知：如圖，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC=45°；點D是上的一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E，且DE∥BC；連接AD、BD、BE，AD的垂線AF與DC的延長線交于點F．
（1）求證：△ABD∽△ADE；
（2）記△DAF、△BAE的面積分別為S_△DAF、S_△BAE，求證：S_△DAF＞S_△BAE．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線的性質和垂徑定理得到相等的弧，從而證得∠BDA=∠DEA，進而可以證得兩個三角形相似；
（2）利用上題證明的相似三角形得到等積式AD²=AB•AE，表示出兩個三角形的面積，比較即可．
解答：證明：（1）連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵DE∥BC，
∴OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BAD=∠EAD
∵∠BDA=∠BCA，DE∥BC，
∴∠BDA=∠DEA，
∵∠BAD=∠EAD，
∴△ABD∽△ADE；

（2）由（1）得，
即AD²=AB•AE，
設在△ABE中，AE邊上的高為h，則S_△ABE=h•AE，
∵三角形ABC為銳角△，∴h＜AB，
由∠ABC=45°，AD⊥AF可推得△ADF為等腰直角三角形，
∴S_△ADF=×AD×AF=AD²
∴AD²=AE×AB．
∵h＜AB．
∴S_△DAF＞S_△BAE．
點評：本題考查了切線的性質及相似三角形的判定及性質，解題的關鍵是正確的證明兩個三角形相似，并利用證得的相似三角形得到等積式．