Question

如圖，是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，水位線CD平行于直徑AB，OE⊥CD于點E．
（1）若水面距離洞頂最高處僅1m，已測得sin∠DOE=

5

13

．求半徑OD；
（2）根據(jù)設(shè)計要求，通常情況下，水位線CD與橋洞圓心O的夾角∠COD=120°，此時橋洞截面充水面積是多少？（精確到0.1m²）
（參考數(shù)據(jù)：π≈3.14，

3

≈1.73，

2

≈1.41．）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出DO=13k，DE=5k的長，在Rt△ODE中利用勾股定理，可得到OE的長，再根據(jù)OE=OD-1，可以求出k的值，進(jìn)而求出OD長．
（2）首先求出OE，DE，CD長，利用半圓面積減去小弓形面積，即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ODE中，
∵sin∠DOE=

5

13

，
∴設(shè)DO=13k，DE=5k（k≠0），
∴OE=

OD2-OE2

=12k，
又∵OE=OD-1，
∴12k=13k-1，解得k=1，
∴OD=13m．

（2）∵∠COD=120°，
∴∠DOE=60°，由r=13得OE=

1

2

r=

13

2

，
DE=

3

OE=

13 3

2

，
CD=2DE=13

3

，
∴S=

1

2

π×132-(

120π×132

360

-

1

2

×13

3

×

13

2

)，
=

169

2

π-

169

3

π+

169 3

4

，
=

169

6

π+

169 3

4

≈161.5m²
答：此時橋洞截面充水面積是161.5m²．

點評：此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及扇形面積公式等知識，求陰影部分面積經(jīng)常運用求出空白面積來解決．