Question

問題背景
小明以一個等腰三角形ABC的兩腰AB、AC為邊，分別向兩旁作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，以底邊BC為邊向上作等邊三角形FBC(如圖1)，在順次連接A、D、F、E四邊形ADFE是一個特殊的四邊形。
任務要求
(l)試判斷四邊形ADFE的形狀，并證明；
(2)將△ABC的形狀改為任意三角形（AB、BC、AC均不相等），在采用上述相同的作法后(如圖2)，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明
聯系拓廣
(3)在得出上述結論后，他進一步提出，當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是矩形？△ABC滿足什么條件時，四邊形ADFE是正方形？請你作出回答并說明理由．

Answer 1

解：(l)四邊形ADFE是菱形．      
證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴BD =AB，∠DBA =60°，    
同理BC= BF，∠FBC= 60°．    
∴∠DBF= ∠ABC，
∴△DBF≌△ABC．        
∴DF=AC =AE，
同理可證△BCA≌△FCE，
∴EF =AB =AD．    又AB =AC，
∴DF =EF =AE =AD，∴四邊形ADFE是菱形  
(2)四邊形ADFE是平行四邊形．        
證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴B =AB，∠DBA =60°，    
同理BC =BF，∠FBC =60°．    
∴∠DBF=∠ABC∴△DBF≌△ABC, ∴DF =AC= AE,    
同理可證△ECF≌△ACB∴EF =AB =AD．    
∴四邊形ADFE是平行四邊形．       
(3)當∠BAC= 150°時，四邊形ADFE是矩形．       
理由：當四邊形ADFE是矩形時，∠DAE =90°．    
∵∠DAB= ∠EAC= 60°．    ∴∠BAC =360°- 90°- 60°- 60°=150°．    
∴當△ABC滿足∠BAC= 150°時，四邊形ADFE是矩形．    
當∠BAC= 150°且AB =AC時，四邊形ADFE是正方形    
理由：∵四邊形ADFE是正方形，    
∴∠BAC= 150°，AD=AE,    結合上面的過程，易知AB =AC．    
∴當△ABC滿足∠BAC= 150°且AB=AC時，四邊形ADFE是正方形。