Question

【題目】如圖已知拋物線與軸交于點C(0，4)，與軸交于A(，0)、B(，0)，其中，為方程的兩個根．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連結CQ，設Q(，0)，△CQE的面積為，求關于的函數關系式及△CQE的面積的最大值；

（3）點M的坐標為(2，0)，問：在直線AC上，是否存在點F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， (其中：)，△CQE的面積的最大值為3；（3）存在，點F的坐標為(1，3)或(2，2)．

【解析】

（1）首先利用方程求出圖象與x軸交點坐標，進而將C點坐標代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于點H，可得EH∥CO，根據QE∥AC，可得出比例關系，代入求出EH的長度，求出S△CQE，得出關系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系數法求出AC的解析式，設F（x，x＋4），表示出OM、MF、OF的長度，要使△OMF是等腰三角形有三種情況：①OF＝FM時，②OM＝OF＝2時，③OM＝MF時，分別求出點F的坐標．

解：（1）解方程，

得：，，

∴A(4，0)，B(－2，0)，

設拋物線解析式為：，

將C(0，4)代入，解得：，

∴拋物線解析式為：

即．

（2）由Q(，0)，可得：

BQ＝，AQ＝，

作EH⊥AB于點H，

∵EH∥CO，∴，

又∵QE∥AC，∴，

∴ ，即，

∴，

∵

，

即關于的函數關系式為：

，

(其中：)，

∴△CQE的面積的最大值為3；

（3）存在．

理由如下：

設AC的解析式為：，AC過A(4，0)和C(0，4)，

∴，解之得：，，

∴AC的解析式為：，

∵F在AC上，設F(，)，

∴，

，，

若△OMF是等腰三角形可能有三種情況：

①OF＝FM時，F的橫坐標應為1，

∴F(1，3)；

②OF＝OM＝2時，，

化簡得：，

∵，∴這種情況不存在；

③ OM＝MF＝2時，，

化簡得：，

解得：，(舍去)，

∴F(2，2)，

綜上所述，當△OMF是等腰三角形時，點F的坐標為(1，3)或(2，2)．