Question

對于任意兩個二次函數：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，其中a₁•a₂≠0．當|a₁|=|a₂|時，我們稱這兩個二次函數的圖象為全等拋物線．現有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．我們記過三點的二次函數的圖象為“C_□□□”（“□□□”中填寫相應三個點的字母）．如過點A、B、M三點的二次函數的圖象為C_ABM．

（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN．請通過計算判斷C_ABM與C_ABN是否為全等拋物線；
（2）①若已知M（0，n），在圖中的平面直角坐標系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形．求拋物線C_ABM的解析式，然后請直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線解析式．
②若已知M（m，n），當m，n滿足什么條件時，存在拋物線C_ABM？根據以上的探究結果，在圖中的平面直角坐標系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形．然后請列出所有滿足過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線C_□□□”．

Answer 1

分析：（1）應該是全等拋物線，由于這兩個拋物線雖然開口方向不同，但是開口大小一樣，因此二次項的絕對值也應該相等．可用待定系數法求出兩拋物線的解析式，然后進行判斷即可．
（2）①先設拋物線C_ABM的解析式y=ax²+bx+c，把三點代入即解得；
②當n≠0且m≠±1時，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．

解答：解：（1）設拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

0=a-b+c 0=a+b+c 1=c

解得：

a=-1 b=0 c=1

∴拋物線C_ABM的解析式為y=-x²+1，從而解得．
同理可得拋物線C_ABN的解析式為y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM與C_ABN是全等拋物線．

（2）①設拋物線C_ABM的解析式y=ax²+bx+c
∵拋物線C_ABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

0=a-b+c 0=a+b+c n=c

拋物線C_ABM的解析式為y=-nx²+n，
與C_ABM全等的拋物線有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②當n≠0且m≠±1時，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．

點評：本題是函數與幾何結合的綜合題，解題關鍵是善于利用幾何圖形的性質以及函數的性質和定理等知識，主要考查學生數形結合的數學思想方法．（1）由于這兩個拋物線雖然開口方向不同，但是開口大小一樣，因此二次項的絕對值也應該相等．可用待定系數法求出兩拋物線的解析式，然后進行判斷即可．（2）與（1）相同都是通過構建平行四邊形來得出與△ABM全等的三角形，那么過與△ABM全等的三角形的三個頂點的拋物線都是與C_ABM全等的拋物線．①設其一般解析式，把三點代入即得．②當n≠0且m≠±1時，即求得．